Calcule a derivada da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que seja calculada a derivada de
em relação a
. Ou seja, encontrar
, o coeficiente que descreve a taxa de variação instantânea de
em função de
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender o que é derivada de forma simples e a definição que justifica as regras que vamos usar.
A derivada de uma função
em um ponto mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de
naquele ponto — isto é, a taxa de variação instantânea. A definição em termos de limite é
onde
é um pequeno incremento em
. Essa definição é conceitual; na prática para polinômios usamos regras que derivam diretamente sem calcular o limite toda vez.
Passo 3
As regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra da soma:
Explicação: derivar cada parcela separadamente e somar as derivadas.
- Regra do múltiplo constante:
Explicação: uma constante fatora para fora da operação de derivar.
- Regra da potência (power rule):
Explicação: para potências de
, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade.
- Derivada de constante:
Explicação: uma constante não muda quando
varia, logo taxa de variação zero.
Passo 4
Agora aplicamos essas regras termo a termo na função
.
Primeiro termo:
.
- Identifico que é um múltiplo constante
vezes . - Derivada de
pela regra da potência é . - Aplicando a regra do múltiplo constante:
Passo 5
Segundo termo:
.
- É da forma
com . - Pela regra da potência:
Terceiro termo:
.
- É uma constante, então
Passo 6
Usando a regra da soma, a derivada de
é a soma das derivadas dos três termos calculados acima. Assim,
é a soma das quantidades obtidas para cada termo (sem simplificar aqui).