Calcule a derivada da função:
f(x)=4 x^{3}+x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x^{3}+x^{2}+1
e pede que seja calculada a derivada de f em relação a x. Ou seja, encontrar f'(x), o coeficiente que descreve a taxa de variação instantânea de f em função de x.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender o que é derivada de forma simples e a definição que justifica as regras que vamos usar.
A derivada de uma função g(x) em um ponto mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de g naquele ponto — isto é, a taxa de variação instantânea. A definição em termos de limite é
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Essa definição é conceitual; na prática para polinômios usamos regras que derivam diretamente sem calcular o limite toda vez.

Passo 3

As regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  1. Regra da soma:
\text{Se }g(x)=u(x)+v(x)\text{ então }g'(x)=u'(x)+v'(x).ã
Explicação: derivar cada parcela separadamente e somar as derivadas.
  1. Regra do múltiplo constante:
\text{Se }g(x)=c\cdot u(x)\text{ com constante }c,\text{ então }g'(x)=c\cdot u'(x).ã
Explicação: uma constante fatora para fora da operação de derivar.
  1. Regra da potência (power rule):
\text{Se }u(x)=x^{n}\text{ com }n\in\mathbb{R},\text{ então }u'(x)=n x^{n-1}.ã
Explicação: para potências de x, multiplica-se pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade.
  1. Derivada de constante:
\text{Se }g(x)=C\text{ (constante), então }g'(x)=0.ã
Explicação: uma constante não muda quando x varia, logo taxa de variação zero.

Passo 4

Agora aplicamos essas regras termo a termo na função f(x)=4x^{3}+x^{2}+1.
Primeiro termo: 4x^{3}.
  • Identifico que é um múltiplo constante 4 vezes x^{3}.
  • Derivada de x^{3} pela regra da potência é 3x^{2}.
  • Aplicando a regra do múltiplo constante:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.

Passo 5

Segundo termo: x^{2}.
  • É da forma x^{n} com n=2.
  • Pela regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x^{1}=2x.
Terceiro termo: 1.
  • É uma constante, então
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 6

Usando a regra da soma, a derivada de f é a soma das derivadas dos três termos calculados acima. Assim, f'(x) é a soma das quantidades obtidas para cada termo (sem simplificar aqui).

Resposta

\,f'(x)=12x^{2}+2x

Exercícios relacionados