Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.
Informações fornecidas e o que é pedido:
- Função:
. - Abscissa do ponto onde se quer a tangente:
. - Pedido: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): a reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Em linguagem simples: a derivada em
é a inclinação (coeficiente angular) da reta que “toca” a curva em
.
Formalmente, se a função é
e o ponto de tangência é
com
, então a reta tangente pode ser escrita na forma ponto-inclinação
onde
é a inclinação (slope) dada por
. Aqui:
-
e são as variáveis da reta; -
e são as coordenadas do ponto de tangência; -
é a derivada de em , ou seja a taxa de variação instantânea de em .
Passo 3
Vamos calcular a derivada
da função
. Primeiro reescrevemos em potências para aplicar a regra de potência (mais fácil de manipular):
A regra de potência diz: se
com
constante, então
Aqui:
-
é o expoente da potência; -
é a variável independente; -
é a derivada de .
Aplicando a regra termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando as derivadas dos termos:
Passo 4
É conveniente escrever a derivada em forma equivalente usando radicais e frações para ficar mais claro:
Isso é a expressão geral da inclinação da tangente em qualquer
(a função e a derivada existem apenas para
devido à raiz e à divisão por
).
Passo 5
Agora avaliamos a derivada em
para obter a inclinação
da tangente no ponto pedido. Substituindo
em
:
Portanto a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência
. Já temos
. Calculamos
:
Portanto o ponto é
.
Passo 7
Agora escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
Substituindo
,
e
, obtemos a equação da reta tangente em forma ponto-rampa (aqui ainda como forma de construção da resposta):