Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função y=\sqrt{x}+\frac{1}{x} no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=1.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Função: y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}.
  • Abscissa do ponto onde se quer a tangente: x=1.
  • Pedido: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): a reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Em linguagem simples: a derivada em x_0 é a inclinação (coeficiente angular) da reta que “toca” a curva em x_0.
Formalmente, se a função é y=f(x) e o ponto de tangência é (x_0,y_0) com y_0=f(x_0), então a reta tangente pode ser escrita na forma ponto-inclinação
y-y_0 = m(x-x_0),
onde m é a inclinação (slope) dada por m=f'(x_0). Aqui:
  • x e y são as variáveis da reta;
  • x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto de tangência;
  • m é a derivada de f em x_0, ou seja a taxa de variação instantânea de f em x_0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada y'=f'(x) da função f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}. Primeiro reescrevemos em potências para aplicar a regra de potência (mais fácil de manipular):
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac{1}{x}=x^{-1}.
A regra de potência diz: se g(x)=x^{n} com n constante, então
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui:
  • n é o expoente da potência;
  • x é a variável independente;
  • g'(x) é a derivada de g.
Aplicando a regra termo a termo:
  • Derivada de x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{1/2-1}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Somando as derivadas dos termos:
y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}-x^{-2}.

Passo 4

É conveniente escrever a derivada em forma equivalente usando radicais e frações para ficar mais claro:
y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}}.
Isso é a expressão geral da inclinação da tangente em qualquer x>0 (a função e a derivada existem apenas para x>0 devido à raiz e à divisão por x).

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x=1 para obter a inclinação m da tangente no ponto pedido. Substituindo x=1 em \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^{2}}:
m = y'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}-\frac{1}{1^{2}}=\frac{1}{2\cdot 1}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
Portanto a inclinação da reta tangente em x=1 é m=-\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência (x_0,y_0). Já temos x_0=1. Calculamos y_0=f(1):
y_0=f(1)=\sqrt{1}+\frac{1}{1}=1+1=2.
Portanto o ponto é (1,2).

Passo 7

Agora escrevemos a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=1, y_0=2 e m=-\dfrac{1}{2}, obtemos a equação da reta tangente em forma ponto-rampa (aqui ainda como forma de construção da resposta):
y-2=-\frac{1}{2}(x-1).

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

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