Para a função f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, determine o ponto de descontinuidade. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},
e pede que eu determine o ponto de descontinuidade e justifique. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) é uma razão (fração) de funções polinomiais.
  • Há um denominador x-2 que pode anular-se para algum x.
    A pergunta é: em que ponto(s) f é descontínua? (Se houver, indicar o ponto e justificar por que é descontinuidade.)

Passo 2

Encontrar o domínio da função — primeiro passo para localizar possíveis descontinuidades.
  • Uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} só está definida onde o denominador é diferente de zero.
  • O denominador aqui é x-2. Então ele se anula quando x=2.
    Portanto o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\},
ou seja, todos os reais exceto x=2. Conclusão parcial: a única candidata a ponto de descontinuidade é x=2, porque em outros pontos a função está definida.

Passo 3

Simplificar a expressão para entender o comportamento em pontos distintos de 2.
  • Fatore o numerador: x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • Para x\neq 2 (ou seja, onde a função está definida) pode-se simplificar:
f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,\qquad \text{para }x\neq 2.
Explicação didática: cancelar o fator (x-2) só é válido quando x-2\neq 0. Depois do cancelamento, para todos os x do domínio a função coincide com o polinômio x+2.

Passo 4

Analisar limites e continuidade em x=2.
  • Como para x\neq2 temos f(x)=x+2, o limite lateral em 2 é o mesmo que o limite do polinômio x+2 quando x\to2:
\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2=4.
Explicação da regra usada: polinômios são funções contínuas, então o limite em um ponto é simplesmente o valor da expressão avaliada nesse ponto.

Passo 5

Verificar a definição de continuidade e concluir o tipo de descontinuidade.
  • Lembrete (definição operacional de continuidade num ponto a): f é contínua em a se (i) f(a) existe, (ii) \lim_{x\to a}f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to a}f(x)=f(a).
  • No nosso caso em a=2:
    • Já calculei que \lim_{x\to 2}f(x)=4 (existe e é finito).
    • Mas f(2) não existe porque a expressão original tem denominador zero quando x=2.
  • Como a condição (i) falha (a função não está definida em x=2), f não é contínua em x=2.
Classificação: quando o limite existe finito mas a função não está definida (ou está definida com valor diferente), chama-se descontinuidade removível (ou “buraco” no gráfico). Aqui é exatamente esse caso: existe um limite finito 4 mas f(2) não está definido, logo a descontinuidade em x=2 é removível — basta definir f(2)=4 para tornar a função contínua em 2.

Passo 6

Resumo prático para a prova (como argumentar rápido):
  • Observe o denominador; determine que x=2 não pertence ao domínio.
  • Fatore e simplifique; mostre que para x\neq2 a função coincide com x+2.
  • Calcule \lim_{x\to2}f(x)=4.
  • Conclua que f tem descontinuidade em x=2 porque f(2) não está definido, e classifique-a como removível porque o limite existe e é finito.

Resposta

x=2 — descontinuidade removível.

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