Para a função
, determine o ponto de descontinuidade. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que eu determine o ponto de descontinuidade e justifique. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é uma razão (fração) de funções polinomiais. - Há um denominador
que pode anular-se para algum .
A pergunta é: em que ponto(s)é descontínua? (Se houver, indicar o ponto e justificar por que é descontinuidade.)
Passo 2
Encontrar o domínio da função — primeiro passo para localizar possíveis descontinuidades.
- Uma fração
só está definida onde o denominador é diferente de zero. - O denominador aqui é
. Então ele se anula quando .
Portanto o domínio deé
ou seja, todos os reais exceto
. Conclusão parcial: a única candidata a ponto de descontinuidade é
, porque em outros pontos a função está definida.
Passo 3
Simplificar a expressão para entender o comportamento em pontos distintos de
.
- Fatore o numerador:
. - Para
(ou seja, onde a função está definida) pode-se simplificar:
Explicação didática: cancelar o fator
só é válido quando
. Depois do cancelamento, para todos os
do domínio a função coincide com o polinômio
.
Passo 4
Analisar limites e continuidade em
.
- Como para
temos , o limite lateral em é o mesmo que o limite do polinômio quando :
Explicação da regra usada: polinômios são funções contínuas, então o limite em um ponto é simplesmente o valor da expressão avaliada nesse ponto.
Passo 5
Verificar a definição de continuidade e concluir o tipo de descontinuidade.
- Lembrete (definição operacional de continuidade num ponto
): é contínua em se (i) existe, (ii) existe, e (iii) . - No nosso caso em
: - Já calculei que
(existe e é finito). - Mas
não existe porque a expressão original tem denominador zero quando .
- Já calculei que
- Como a condição (i) falha (a função não está definida em
), não é contínua em .
Classificação: quando o limite existe finito mas a função não está definida (ou está definida com valor diferente), chama-se descontinuidade removível (ou “buraco” no gráfico). Aqui é exatamente esse caso: existe um limite finito
mas
não está definido, logo a descontinuidade em
é removível — basta definir
para tornar a função contínua em
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (como argumentar rápido):
- Observe o denominador; determine que
não pertence ao domínio. - Fatore e simplifique; mostre que para
a função coincide com . - Calcule
. - Conclua que
tem descontinuidade em porque não está definido, e classifique-a como removível porque o limite existe e é finito.