Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=\cos t, y=\operatorname{sec} ^{2} t, 0 t \pi / 2
x=\cos t, y=\operatorname{sec} ^{2} t, 0 t \pi / 2
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
com
.
O que precisamos é eliminar o parâmetro usando identidade trigonométrica
para obter a equação cartesiana e depois analisar o domínio e o formato da curva.
O que precisamos é eliminar o parâmetro
Passo 2
Como
, temos
Logo a relação cartesiana é
Passo 3
Analisando o domínio: quando
vai de
a
,
-
decresce de a , então . - Consequentemente
cresce de a .
Portanto a curva é o ramo de hipérbole no primeiro quadrante, partindo do pontoe se aproximando da reta vertical como assíntota.
Passo 4
Esboço qualitativo:
A curva é decrescente e convexa, sai de e, ao aproximar-se de
, dispara para
. A reta
é assíntota vertical.
A curva é decrescente e convexa, sai de
Resposta
A curva tem equação cartesiana
e é o ramo de hipérbole no primeiro quadrante com assíntota vertical
.