Exercício 1. Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=\cos t, y=\operatorname{sec} ^{2} t, 0 t \pi / 2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=\cos t,\quad y=\operatorname{sec}^{2}t,
com 0\le t\le \pi/2.
O que precisamos é eliminar o parâmetro t usando identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}t=1/\cos^{2}t para obter a equação cartesiana e depois analisar o domínio e o formato da curva.

Passo 2

Como \cos t=x, temos
\operatorname{sec}^{2}t=\frac{1}{\cos^{2}t}=\frac{1}{x^{2}}.
Logo a relação cartesiana é
y=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Analisando o domínio: quando t vai de 0 a \pi/2,
  • \cos t decresce de 1 a 0^+, então x\in(0,1].
  • Consequentemente y=1/x^2 cresce de 1 a +\infty.
    Portanto a curva é o ramo de hipérbole no primeiro quadrante, partindo do ponto (1,1) e se aproximando da reta vertical x=0 como assíntota.

Passo 4

Esboço qualitativo:
A curva é decrescente e convexa, sai de (1,1) e, ao aproximar-se de x=0, dispara para y\to+\infty. A reta x=0 é assíntota vertical.

Resposta

A curva tem equação cartesiana
y=\frac{1}{x^{2}},\quad 0<x\le1,
e é o ramo de hipérbole no primeiro quadrante com assíntota vertical x=0.

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