Calcule a derivada da função \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{3}+8}} no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x^{3} + 1}{\sqrt{x^{3} + 8}}
no ponto x=1. O conteúdo aqui é derivada de quociente de funções, e vamos precisar da regra
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{3} + 1, \quad v(x) = \sqrt{x^{3} + 8} = (x^{3}+8)^{\tfrac12}.
Então
u'(x) = 3x^{2}, \quad v'(x) = \frac12\,(x^{3}+8)^{-\tfrac12}\cdot 3x^{2} = \frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+8}}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} = \frac{3x^{2}\,\sqrt{x^{3}+8} \;-\;(x^{3}+1)\,\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+8}}}{x^{3}+8}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=1. Temos
u'(1)=3\cdot1^{2}=3, \quad v(1)=\sqrt{1+8}=3, \quad u(1)=1^{3}+1=2, \quad v'(1)=\frac{3\cdot1^{2}}{2\cdot3}=\frac12.
Logo
f'(1) = \frac{3\cdot3 \;-\;2\cdot\frac12}{1+8} = \frac{9 - 1}{9} = \frac{8}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{9}

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