{ }^{a} Questāo. \left(\mathbf{2}, \mathbf{5}\right. pts) Calcule a área da região delimitada pela parábola y=x^{2} e a reta y=2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^{2} e y = 2x + 3. O conteúdo usado será cálculo de integrais definidas para áreas entre duas curvas: primeiro determinamos os pontos de interseção, depois identificamos qual função está acima, e por fim integramos a diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, resolvemos
x^{2} = 2x + 3
que equivale a
x^{2} - 2x - 3 = 0.
Fatorando, (x - 3)(x + 1) = 0, logo as abscissas de interseção são
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 3.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima no intervalo [-1,3], avaliamos em, por exemplo, x=0:
y_{\text{parábola}}=0^{2}=0á e y_{\text{reta}}=2\cdot0+3=3.
Como 3>0, a reta y=2x+3 fica acima da parábola y=x^2 em todo o intervalo de -1 a 3.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{-1}^{3} \bigl[(2x + 3) - x^{2}\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva de 2x + 3 - x^{2}:
\int (2x + 3 - x^{2})\,dx = x^{2} + 3x - \frac{x^{3}}{3} + C.
Agora avaliamos de -1 a 3:
\Bigl[x^{2} + 3x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{3} = \bigl(9 + 9 - 9\bigr) - \bigl(1 - 3 + \tfrac{1}{3}\bigr) = 9 - \bigl(-2 + \tfrac{1}{3}\bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

\frac{32}{3}

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