Calcule a derivada da função
g(x) = (e^(-x) cos(2x) / (1 + e^x))^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia, a regra do quociente e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro do quadrado. Vamos chamar de a parte que está dentro dos parênteses:
Assim, podemos reescrever como:
Isso nos ajuda a aplicar a regra da cadeia para derivar .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, sabemos que a derivada de é:
Então, agora precisamos encontrar , que é a derivada de .

Passo 4

Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Aqui, e .

Passo 5

Primeiro, vamos derivar usando a regra do produto, já que é o produto de e :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 6

Agora, vamos derivar :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Substituindo , , e :

Passo 8

Agora, voltando à derivada de :
Substituindo e :
Podemos simplificar essa expressão, mas já temos a derivada completa.

Resposta

A derivada da função é:

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