Calcule o limite
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}[1+\sin (x)]^{(1 / x)}$$

Passo 1

Então, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites de formas indeterminadas e usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1: .

Passo 3

A expressão ln( [1 + sin(x)]^1x ) = 1x ln(1 + sin(x)) tem a forma , onde e se aproximam de 0. Para resolver esse tipo de limite, podemos usar o logaritmo natural para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite do logaritmo:
limx to 0^+ ln(1 + sin(x))x
Sabemos que para ln(1 + sin(x)) approx sin(x) próximo de 0, limx to 0^+ sin(x)x . Então:
Portanto, o limite se aproxima de:

Passo 5

Sabemos que:
limx to 0 sin(x)x = 1
Então, o limite do logaritmo é 1.

Passo 6

Voltemos à expressão original. Se L = e^1 = e , então:

Resposta

O limite é .

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