Calcule o limite
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}[1+\sin (x)]^{(1 / x)}$$
Passo 1
Então, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites de formas indeterminadas e usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1:
.
Passo 3
A expressão
tem a forma
, onde
e
se aproximam de 0. Para resolver esse tipo de limite, podemos usar o logaritmo natural para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite do logaritmo:
Sabemos que para
próximo de 0,
. Então:
Portanto, o limite se aproxima de:
Passo 5
Sabemos que:
Então, o limite do logaritmo é 1.
Passo 6
Voltemos à expressão original. Se
, então:
Resposta
O limite é
.