Calcule a derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ P(t) = \frac{\sin(t)}{3 - 2 \cos(t)} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Quociente. Precisamos lembrar que quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, a derivada dela não é simplesmente a derivada do numerador sobre o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar:
- Numerador: $ u(t) = \sin(t) $
- Denominador: $ v(t) = 3 - 2 \cos(t) $
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas dessas partes separadamente:
- Derivada de $ u(t) $: $ u’(t) = \cos(t) $ (porque a derivada de seno é cosseno)
- Derivada de $ v(t) $: $ v’(t) = 2 \sin(t) $ (a derivada de constante é zero e a derivada de
é $ 2 \sin(t) $)
Passo 4
Aplicando a Regra do Quociente, que diz:
Substituímos $ u(t) $, $ v(t) $, $ u’(t) $ e $ v’(t) $ na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Sabemos que $ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 $, então podemos reescrever:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada: