Calcule a derivada da função P(t)=sin (t)3-2 cos (t).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ P(t) = \frac{\sin(t)}{3 - 2 \cos(t)} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Quociente. Precisamos lembrar que quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, a derivada dela não é simplesmente a derivada do numerador sobre o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar:
  • Numerador: $ u(t) = \sin(t) $
  • Denominador: $ v(t) = 3 - 2 \cos(t) $

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas dessas partes separadamente:
  • Derivada de $ u(t) $: $ u’(t) = \cos(t) $ (porque a derivada de seno é cosseno)
  • Derivada de $ v(t) $: $ v’(t) = 2 \sin(t) $ (a derivada de constante é zero e a derivada de u(t) é $ 2 \sin(t) $)

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente, que diz:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Substituímos $ u(t) $, $ v(t) $, $ u’(t) $ e $ v’(t) $ na fórmula:
u(t)

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
cos(t) cdot 3 - cos(t) cdot 2 cos(t) - 2 sin^2(t) = 3 cos(t) - 2 cos^2(t) - 2 sin^2(t)
Sabemos que $ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 $, então podemos reescrever:
cos^2(t) + sin^2(t) = 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
P'(t) = 3 cos(t) - 2(3 - 2 cos(t))^2

Resposta

P'(t) = 3 cos(t) - 2(3 - 2 cos(t))^2

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