Calcule a Derivada da função vetorial:
r(t)=lang<= tsen t, t^2, t cos (2 t)rang<=

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=llang<= t,sent,;t^2,;tcos(2t)rrang<=
Conteúdo: derivada de função vetorial. Vamos usar que
ddtr(t)=llang<= x'(t),,y'(t),,z'(t)rrang<=
e aplicar a regra do produto sempre que necessário.

Passo 2

Derivada do primeiro componente x(t)=t,sent. Pela regra do produto,
x'(t)=ddt(t),sent + t,ddt(sent) =sent + tcos t

Passo 3

Derivada do segundo componente y(t)=t^2. É uma potência simples, logo
y'(t)=2t

Passo 4

Derivada do terceiro componente z(t)=tcos(2t). Aplicando a regra do produto e a cadeia,
z'(t)=ddt(t)cos(2t)+t,ddtl(cos(2t)r) =cos(2t)+tl(-sin(2t)cdot2r) =cos(2t)-2tsin(2t)

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
r'(t)=llang<= sent + tcos t,;2t,;cos(2t)-2tsin(2t)rrang<=

Resposta

r'(t)=llang<= sent + tcos t,;2t,;cos(2t)-2tsin(2t)rrang<=.

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