Calcule a Derivada da função vetorial:
r(t)=lang<= t g(t), sec (t), 1 / t^2rang<=

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada da função vetorial r(t)=lang<= t,g(t),sec(t),1/t^2rang<=. Vamos usar os conceitos de derivada de função vetorial, aplicando em cada componente as regras de derivação apropriadas: regra do produto, derivada da secante e regra do poder.

Passo 2

Para o primeiro componente x(t)=t,g(t), aplicamos a regra do produto: derivada de t vezes g(t) mais t vezes derivada de g(t). Assim,
x'(t)=1cdot g(t)+tcdot g'(t)=g(t)+t,g'(t)

Passo 3

Para o segundo componente y(t)=sec(t), usamos a derivada da função secante, que é secante vezes tangente. Logo,
y'(t)=ddt[sec(t)]=sec(t)tan(t)

Passo 4

Para o terceiro componente z(t)=t^-2, usamos a regra do poder: z'(t)=(-2)t^-3. Portanto,
z'(t)=-2,t^-3=-2t^3

Resposta

[\mathbf{r}’(t)=\langle g(t)+t,g’(t),\sec(t)\tan(t), -\tfrac{2}{t^{3}}\rangle]

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