Se x >= 0 e x <= y, mostre que x^2 <= y^2.

Passo 1

O enunciado nos dá x,yin R com x>= 0 e x<= y e pede para mostrar que x^2<= y^2. Vamos usar propriedades de desigualdades e multiplicação por números não-negativos.

Passo 2

Como x>= 0 e x<= y, segue que y>= x>= 0. Portanto ambos x e y são não-negativos.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade x<= y por x (não-negativo) preserva-se a ordem:
xcdot x <= xcdot y
ou seja
x^2 <= x,y
De modo análogo, multiplicando x<= y por y (não-negativo) obtemos
x,y <= ycdot y
ou seja
x,y <= y^2

Passo 4

Pela transitividade da desigualdade (se a<= b e b<= c, então a<= c), de
x^2 <= x,y
e
x,y <= y^2
segue
x^2 <= y^2

Resposta

x^2 <= y^2

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