Calcule a derivada da função vetorial
\vec{F}(t)=\left(2 t, \sin (3 t), t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{F}(t)=\left(2 t, \sin(3 t), t^{3}\right).
O que se pede: calcular a derivada de \vec{F} em relação a t, isto é obter \vec{F}'(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem três componentes: primeira componente 2t, segunda componente \sin(3t) (note que há uma função composta) e terceira componente t^{3}.
  • A variável independente é t, que vamos considerar como real ( t\in\mathbb{R}).
  • A derivada da função vetorial será uma função vetorial cujas componentes são as derivadas das componentes originais.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{F}(t)=\big(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\big),
então
\vec{F}'(t)=\big(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t)\big).
Isto decorre da definição de derivada como limite e da propriedade de que o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes (quando estes existem). Portanto basta derivar cada componente como se fosse uma função real de t.

Passo 3

Derivando a primeira componente f_{1}(t)=2t.
Regra usada: regra do múltiplo constante (ou regra do coeficiente). Para uma constante a e função g(t)=a\cdot t, tem-se g'(t)=a.
Aplicando isso:
\frac{d}{dt}\big(2t\big)=2.
Explicando devagar: a função 2t é linear em t; a inclinação é 2, então a derivada é constante 2.

Passo 4

Derivando a segunda componente f_{2}(t)=\sin(3t).
Regra usada: regra da cadeia. Se h(t)=\sin(u(t)) com u(t) diferenciável, então
h'(t)=\cos\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Aqui u(t)=3t. Calculamos u'(t)=3. Então
\frac{d}{dt}\big(\sin(3t)\big)=\cos(3t)\cdot 3 = 3\cos(3t).
Comentário didático: pense assim — derivar o seno devolve cosseno, e depois multiplica pelo derivado do argumento interno (que é 3 porque \frac{d}{dt}(3t)=3).

Passo 5

Derivando a terceira componente f_{3}(t)=t^{3}.
Regra usada: regra da potência. Para g(t)=t^{n} com n inteiro positivo, tem-se
g'(t)=n\,t^{n-1}.
Aplicando com n=3:
\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)=3t^{2}.
Explicando devagar: multiplica-se pelo expoente 3 e diminui-se o expoente em 1, ficando 3t^{2}.

Passo 6

Reunindo as derivadas das três componentes conforme o passo 2, obtemos a derivada vetorial:
\vec{F}'(t)=\big(2,\;3\cos(3t),\;3t^{2}\big).
Verificação rápida (opcional): por exemplo em t=0 temos \vec{F}'(0)=(2,3\cos 0,0)=(2,3,0), que faz sentido com as fórmulas componentes.

Resposta

\vec{F}'(t)=\big(2,\,3\cos(3t),\,3t^{2}\big)

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