Calcule a derivada da função vetorial
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
.
O que se pede: calcular a derivada de em relação a
, isto é obter
.
O que se pede: calcular a derivada de
Informações relevantes fornecidas:
- A função tem três componentes: primeira componente
, segunda componente (note que há uma função composta) e terceira componente . - A variável independente é
, que vamos considerar como real ( ). - A derivada da função vetorial será uma função vetorial cujas componentes são as derivadas das componentes originais.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
,
então
então
Isto decorre da definição de derivada como limite e da propriedade de que o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes (quando estes existem). Portanto basta derivar cada componente como se fosse uma função real de
.
Passo 3
Derivando a primeira componente
.
Regra usada: regra do múltiplo constante (ou regra do coeficiente). Para uma constante
e função
, tem-se
.
Aplicando isso:
Explicando devagar: a função
é linear em
; a inclinação é
, então a derivada é constante
.
Passo 4
Derivando a segunda componente
.
Regra usada: regra da cadeia. Se
com
diferenciável, então
Aqui
. Calculamos
. Então
Comentário didático: pense assim — derivar o seno devolve cosseno, e depois multiplica pelo derivado do argumento interno (que é
porque
).
Passo 5
Derivando a terceira componente
.
Regra usada: regra da potência. Para
com
inteiro positivo, tem-se
Aplicando com
:
Explicando devagar: multiplica-se pelo expoente
e diminui-se o expoente em
, ficando
.
Passo 6
Reunindo as derivadas das três componentes conforme o passo 2, obtemos a derivada vetorial:
Verificação rápida (opcional): por exemplo em
temos
, que faz sentido com as fórmulas componentes.