Calcule a derivada da função z = x^3 - 2 x^2 y + x y^2 + 1 no ponto (1,2), na direção que vai desse ponto ao ponto (4, 6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! Primeiro, a gente tem a função . A gente precisa calcular a derivada dessa função no ponto (1,2) na direção que vai desse ponto ao (4,6). Para isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais e de direções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que aponta da posição (1,2) para (4,6). Para isso, subtraímos as coordenadas:
Esse vetor indica a direção na qual queremos calcular a derivada.

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Isso nos dá a direção do gradiente, que é essencial para a derivada direcional.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1,2).
Para em (1,2):
Para em (1,2):

Passo 6

Com as derivadas parciais no ponto, podemos formar o gradiente da função em (1,2):
O gradiente aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 7

Finalmente, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto (1,2) na direção do ponto (4,6) é 1.

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