Calcule a derivada da função
no ponto (1,2), na direção que vai desse ponto ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! Primeiro, a gente tem a função
. A gente precisa calcular a derivada dessa função no ponto (1,2) na direção que vai desse ponto ao (4,6). Para isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais e de direções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que aponta da posição (1,2) para (4,6). Para isso, subtraímos as coordenadas:
Esse vetor indica a direção na qual queremos calcular a derivada.
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso nos dá a direção do gradiente, que é essencial para a derivada direcional.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1,2).
Para
em (1,2):
Para
em (1,2):
Passo 6
Com as derivadas parciais no ponto, podemos formar o gradiente da função
em (1,2):
O gradiente aponta na direção de maior aumento da função.
Passo 7
Finalmente, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto (1,2) na direção do ponto (4,6) é 1.