Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries: sumn=1^+infty bb^n(x-a)^n, b>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo sumn=1^+infty bb^n(x-a)^n, onde b > 1. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especificamente o Teste da Razão para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
sumn=1^+infty bb^n(x-a)^n
Podemos reescrever bb^n como b^1-n. Assim, a série fica:
sumn=1^+infty b^1-n(x-a)^n
Isso ajuda a visualizar melhor os termos da série.

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que uma série sum an converge se o limite
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1 ( L < 1). Se L > 1, a série diverge, e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an na nossa série:
an = b^1-n(x-a)^n
Agora, vamos calcular an+1an:
an+1an = b^1-(n+1)(x-a)^n+1b^1-n(x-a)^n = b^-n(x-a)^n+1b^1-n(x-a)^n = (x-a)b

Passo 5

Agora, aplicamos o valor encontrado no Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = | x - ab |
Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
| x - ab | < 1

Passo 6

Resolvendo essa inequação para encontrar os valores de x que satisfazem a condição de convergência:
| x - a | < b
Isso significa que a distância entre x e a deve ser menor que b.

Passo 7

O raio de convergência R é justamente esse valor que multiplica a variável dentro do módulo. Portanto:
R = b

Passo 8

Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a inequação |x - a| < b:
- b < x - a < b
Somando a em todos os lados:
a - b < x < a + b
Então, o intervalo de convergência é de a - b até a + b.

Resposta

O raio de convergência é R = b e o intervalo de convergência é a - b < x < a + b.

Exercícios relacionados