Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo , onde . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especificamente o Teste da Razão para determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
Podemos reescrever como . Assim, a série fica:
Isso ajuda a visualizar melhor os termos da série.
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que uma série converge se o limite
for menor que 1 (L < 1). Se L > 1, a série diverge, e se L = 1, o teste é inconclusivo.