Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y) = 4x sen(y) + 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve o cálculo de derivadas parciais e análise para descobrir onde a função tem comportamentos especiais, como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e igualar a zero para encontrar esses pontos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, igualamos a zero:
Isso acontece quando , onde é um número inteiro.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Igualando a zero:
Mas já sabemos que em nossos pontos críticos, e não é zero quando (exceto em pontos onde ambas são zero, mas isso não ocorre aqui). Então, a única solução é .

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são da forma , onde é qualquer número inteiro.

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas da função.
Calculando as segundas derivadas:

Passo 7

A determinante da Hessiana ( ) é dada por:
Substituindo os valores nos pontos críticos :
Então,

Passo 8

Quando o determinante da Hessiana é negativo ( ), isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são todos os pontos da forma , onde é um número inteiro. Todos esses pontos são pontos de sela.

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