Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso envolve o cálculo de derivadas parciais e análise para descobrir onde a função tem comportamentos especiais, como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
e igualar a zero para encontrar esses pontos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, igualamos a zero:
Isso acontece quando
, onde
é um número inteiro.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando a zero:
Mas já sabemos que em nossos pontos críticos, e
não é zero quando (exceto em pontos onde ambas são zero, mas isso não ocorre aqui). Então, a única solução é
.
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são da forma
, onde
é qualquer número inteiro.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas da função.
Calculando as segundas derivadas:
Passo 7
A determinante da Hessiana (
) é dada por:
Substituindo os valores nos pontos críticos
:
Então,
Passo 8
Quando o determinante da Hessiana é negativo (
), isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são todos os pontos da forma
, onde
é um número inteiro. Todos esses pontos são pontos de sela.