Encontre o ponto da superfície
no qual o plano tangente é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto na superfície dada por
onde o plano tangente a essa superfície é perpendicular a uma reta específica, que é definida pelas equações
,
,
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico. Para uma superfície dada por
, o plano tangente no ponto
é dado por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície em cada direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
:
Essas derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da superfície no ponto que estamos procurando.
Passo 4
O plano tangente tem um vetor normal, que é dado pelas derivadas parciais. Então, o vetor normal ao plano tangente é:
Agora, queremos que esse plano tangente seja perpendicular à reta dada. Para isso, precisamos que o vetor diretor da reta seja paralelo ao vetor normal do plano.
Passo 5
A reta dada tem as equações paramétricas:
O vetor diretor dessa reta é
. Queremos que esse vetor seja paralelo ao vetor normal do plano
. Para vetores serem paralelos, um deve ser múltiplo do outro.
Passo 6
Isso significa que existe um escalar
tal que:
Vamos resolver a última equação primeiro para encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos
nas duas primeiras equações para encontrar
e
:
Passo 8
Com os valores de
e
, podemos encontrar
usando a equação da superfície:
Resposta
O ponto procurado na superfície é
.