Encontre o ponto da superfície z = 8 - 3 x^2 - 2 y^2 no qual o plano tangente é perpendicular à reta x = 2 - 3 t, y = 7 + 8 t, z = 5 - t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto na superfície dada por onde o plano tangente a essa superfície é perpendicular a uma reta específica, que é definida pelas equações , , . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre planos tangentes e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico. Para uma superfície dada por , o plano tangente no ponto é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície em cada direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função :
Essas derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da superfície no ponto que estamos procurando.

Passo 4

O plano tangente tem um vetor normal, que é dado pelas derivadas parciais. Então, o vetor normal ao plano tangente é:
Agora, queremos que esse plano tangente seja perpendicular à reta dada. Para isso, precisamos que o vetor diretor da reta seja paralelo ao vetor normal do plano.

Passo 5

A reta dada tem as equações paramétricas:
O vetor diretor dessa reta é . Queremos que esse vetor seja paralelo ao vetor normal do plano . Para vetores serem paralelos, um deve ser múltiplo do outro.

Passo 6

Isso significa que existe um escalar tal que:
Vamos resolver a última equação primeiro para encontrar :

Passo 7

Agora, substituímos nas duas primeiras equações para encontrar e :

Passo 8

Com os valores de e , podemos encontrar usando a equação da superfície:

Resposta

O ponto procurado na superfície é .

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