A partir do ponto 1,1, em qual direção a função f(x, y) = x^3 - y^2 cresce mais rapidamente? Em qual direção ela decresce mais rapidamente? Quais os valores das derivadas direcionais máxima e mínima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e quer saber, a partir do ponto :
  1. Em qual direção a função cresce mais rapidamente.
  2. Em qual direção ela decresce mais rapidamente.
  3. Quais são os valores das derivadas direcionais máxima e mínima.
Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e entender como ele nos indica as direções de crescimento e decrescimento mais rápido da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Então, calculamos as derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 3

A direção em que a função cresce mais rapidamente é dada pelo próprio gradiente. Então, a direção de maior crescimento é na direção do vetor .
Para encontrar a direção, podemos normalizar esse vetor (transformá-lo em um vetor unitário), mas como a direção é o que importa, não necessitamos do comprimento.

Passo 4

A direção em que a função decresce mais rapidamente é exatamente na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção de maior decrescimento é na direção de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores das derivadas direcionais máxima e mínima.
A derivada direcional máxima é simplesmente o comprimento do gradiente, que representa a taxa máxima de crescimento. Calculamos isso usando a norma do vetor gradiente:
A derivada direcional mínima (máxima decrescida) será o negativo dessa norma:

Resposta

A função cresce mais rapidamente na direção do vetor e decresce mais rapidamente na direção . As derivadas direcionais máxima e mínima são, respectivamente, e .

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