A partir do ponto , em qual direção a função cresce mais rapidamente? Em qual direção ela decresce mais rapidamente? Quais os valores das derivadas direcionais máxima e mínima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e quer saber, a partir do ponto :
Em qual direção a função cresce mais rapidamente.
Em qual direção ela decresce mais rapidamente.
Quais são os valores das derivadas direcionais máxima e mínima.
Para isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente e entender como ele nos indica as direções de crescimento e decrescimento mais rápido da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Então, calculamos as derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 3
A direção em que a função cresce mais rapidamente é dada pelo próprio gradiente. Então, a direção de maior crescimento é na direção do vetor .
Para encontrar a direção, podemos normalizar esse vetor (transformá-lo em um vetor unitário), mas como a direção é o que importa, não necessitamos do comprimento.
Passo 4
A direção em que a função decresce mais rapidamente é exatamente na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção de maior decrescimento é na direção de .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores das derivadas direcionais máxima e mínima.
A derivada direcional máxima é simplesmente o comprimento do gradiente, que representa a taxa máxima de crescimento. Calculamos isso usando a norma do vetor gradiente:
A derivada direcional mínima (máxima decrescida) será o negativo dessa norma:
Resposta
A função cresce mais rapidamente na direção do vetor e decresce mais rapidamente na direção . As derivadas direcionais máxima e mínima são, respectivamente, e .