Calcule a derivada das funções:
f(x)=3^sec (e^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=3^secl(e^xr)
Aqui vamos usar: (i) a regra da derivada de a^u(x), que dá a^u(x)ln(a),u'(x); (ii) a derivada de sec(v)=sec(v)tan(v),v'; e (iii) a derivada de e^x, que é e^x.

Passo 2

Defina
u(x)=secl(e^xr)
Então f(x)=3^u(x). Aplicando a derivada de a^u(x), obtemos
f'(x)=3^u(x)ln(3),u'(x)

Passo 3

Agora calcule u'(x). Como u(x)=sec(v) com v=e^x, temos
ddx[sec(v)]=sec(v)tan(v),v',
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u'(x)=secl(e^xr)tanl(e^xr),ddx[e^x] =secl(e^xr)tanl(e^xr),e^x

Passo 4

Substituindo u'(x) em f'(x), fica
f'(x) =3^sec(e^x)ln(3),l(e^xsec(e^x)tan(e^x)r)
Reorganizando os fatores, chegamos à forma final.

Resposta

f'(x) =e^xln(3),secl(e^xr)tanl(e^xr),3^sec(e^x)

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