Se
e
são soluções fundamentais de
Mostre (por derivação direta) que
onde
é o wronskiano de
e
. Depois use o Teorema de Abel para obter uma expressão para
.
Mostre (por derivação direta) que
onde
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear de segunda ordem
e diz que
e
são duas soluções fundamentais. Queremos primeiro mostrar diretamente que
sendo
o wronskiano. Em seguida, usando o Teorema de Abel (que dá
), obteremos uma fórmula para
.
Passo 2
Calculemos
Aqui usamos a regra do quociente e a definição do wronskiano.
Passo 3
Pelo Teorema de Abel sabemos que o wronskiano satisfaz
ou seja,
com
constante.
Passo 4
Substituindo em
e integrando de até
, obtemos
e integrando de
onde
é outra constante. Multiplicando por
, ficamos com a forma geral de
.
Resposta
Em particular, escolhendo
e
(para uma segunda solução independente), surge a fórmula de redução de ordem