Se y1 e y2 são soluções fundamentais de
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0
Mostre (por derivação direta) que
dd t(y2y1)=W[y1, y2]y1^2,
onde W[y1, y2] é o wronskiano de y1 e y2. Depois use o Teorema de Abel para obter uma expressão para y2.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
e diz que y1 e y2 são duas soluções fundamentais. Queremos primeiro mostrar diretamente que
ddt!l(y2y1r) =W[y1,y2]y1^2,
sendo
W[y1,y2] = y1,y2' - y2,y1'
o wronskiano. Em seguida, usando o Teorema de Abel (que dá W(t)=Cexp(-integral p)), obteremos uma fórmula para y2.

Passo 2

Calculemos
ddt!l(y2y1r) =y1,(y2)' - y2,(y1)'y1^2 =W[y1,y2]y1^2
Aqui usamos a regra do quociente e a definição do wronskiano.

Passo 3

Pelo Teorema de Abel sabemos que o wronskiano satisfaz
W[y1,y2](t) = W[y1,y2](t0),expl(-integralt0^tp(s),dsr),
ou seja, W(t)=C,e^-integral p com C=W[y1,y2](t0) constante.

Passo 4

Substituindo em
dfracddt(y2/y1)=dfracC,e^-integral py1^2
e integrando de t0 até t, obtemos
y2(t)y1(t) = Cintegralt0^te^-integralt0^sp(u),duy1(s)^2,ds + D,
onde D é outra constante. Multiplicando por y1(t), ficamos com a forma geral de y2.

Resposta

y2(t) = y1(t)gl[D + Cintegralt0^te^-integralt0^sp(u),duy1(s)^2,dsgr]
Em particular, escolhendo D=0 e C=1 (para uma segunda solução independente), surge a fórmula de redução de ordem
y2(t) = y1(t)integralt0^te^-integralt0^sp(u),duy1(s)^2,ds

Exercícios relacionados