Esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
Vamos usar análise de curva: domínio, interceptos, derivadas (monotonia e extremos), concavidade e inflexão, comportamento nas extremidades e, por fim, juntar tudo no esboço.
Passo 2
Domínio e interceptos
O domínio é , pois
está definida para todo
.
Interceptos:
O domínio é
Interceptos:
Não há simetria par nem ímpar, já que
Passo 3
Derivada primeira e monotonia
Calculamos por produto:
Calculamos por produto:
As raízes são
e
. O sinal de
dá:
:
,
(crescente);
:
,
(decrescente);
:
(crescente).
Logo, há máximo local em e mínimo local em
Logo, há máximo local em
Passo 4
Derivada segunda e concavidade
Derivando :
Derivando
Como
para
, o sinal de
é dado por
.
Portanto:
:
(côncavo para baixo);
:
(côncavo para cima).
Em há ponto de inflexão em
Portanto:
Em
Passo 5
Comportamento nas extremidades
Não há assíntotas lineares. Em a tangente é horizontal pois
.
Não há assíntotas lineares. Em
Passo 6
Esboço do gráfico
- Para
a curva sobe vindo de , - cresce até o máximo local em
com tangente horizontal, - decresce concavo para baixo até o ponto de inflexão em
, - continua decrescendo concavo para cima até o mínimo em
, - a seguir cresce, cruza o eixo
em e sobe aceleradamente (concavidade para cima).
Resposta
O esboço descrito acima.