Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^43(x-2).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x^43(x-2)
Vamos usar análise de curva: domínio, interceptos, derivadas (monotonia e extremos), concavidade e inflexão, comportamento nas extremidades e, por fim, juntar tudo no esboço.

Passo 2

Domínio e interceptos
O domínio é R, pois x^43=(x^13)^4 está definida para todo x.
Interceptos:
f(0)=0Longrightarrow;(0,0), f(2)=2^43,(2-2)=0Longrightarrow;(2,0)
Não há simetria par nem ímpar, já que
f(-x)=|x|^tfrac43(-x-2)neq pm f(x)

Passo 3

Derivada primeira e monotonia
Calculamos por produto:
f'(x)=43x^tfrac13(x-2)+x^tfrac43cdot1 =13x^tfrac13(7x-8)
As raízes são x=0 e x=tfrac87. O sinal de f' dá:
x<0: x^tfrac13<0, 7x-8<0 to f'>0 (crescente);
0<x<tfrac87: x^tfrac13>0, 7x-8<0 to f'<0 (decrescente);
x>tfrac87: f'>0 (crescente).
Logo, há máximo local em (0,0) e mínimo local em
l(tfrac87,,fl(tfrac87r)r), fl(tfrac87r) =-967^tfrac73approx -1,03

Passo 4

Derivada segunda e concavidade
Derivando f':
f''(x) =ddxl[tfrac13x^tfrac13(7x-8)r] =49,x^-tfrac23(7x-2)
Como x^-tfrac23>0 para xneq0, o sinal de f'' é dado por 7x-2.
Portanto:
x<tfrac27: f''<0 (côncavo para baixo);
x>tfrac27: f''>0 (côncavo para cima).
Em x=tfrac27 há ponto de inflexão em
l(tfrac27,,fl(tfrac27r)r), fl(tfrac27r) =-127l(tfrac27r)^tfrac43 approx -0,32

Passo 5

Comportamento nas extremidades
xto+inftycolon f(x)sim x^tfrac73to+infty xto-inftycolon f(x)sim -|x|^tfrac73to-infty
Não há assíntotas lineares. Em x=0 a tangente é horizontal pois f'(0)=0.

Passo 6

Esboço do gráfico
  • Para xto-infty a curva sobe vindo de -infty,
  • cresce até o máximo local em (0,0) com tangente horizontal,
  • decresce concavo para baixo até o ponto de inflexão em l(tfrac27,-0,32r),
  • continua decrescendo concavo para cima até o mínimo em l(tfrac87,-1,03r),
  • a seguir cresce, cruza o eixo x em x=2 e sobe aceleradamente (concavidade para cima).

Resposta

O esboço descrito acima.

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