Calcule a derivada das funções:
f(x)=ln (sin ^2(x)+1)x^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(sin^2(x)+1r)x^2
Para resolver precisamos usar a regra do produto (ou quociente) e a regra da cadeia. Vamos reescrever
f(x)=u(x),v(x)
com
u(x)=lnl(sin^2(x)+1r), v(x)=x^-2,
calcular u'(x) e v'(x) e depois aplicar a regra do produto.

Passo 2

Calculamos u'(x). Como u(x)=lnl(g(x)r) com g(x)=sin^2(x)+1, pela regra da cadeia:
u'(x) =g'(x)g(x) =ddx(sin^2(x)+1)sin^2(x)+1 =2sin(x)cos(x)sin^2(x)+1 =sin(2x)sin^2(x)+1

Passo 3

Calculamos v'(x). Como v(x)=x^-2, pela regra da potência:
v'(x) =-2,x^-3

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =sin(2x)sin^2(x)+1,x^-2 +lnl(sin^2(x)+1r),(-2,x^-3)

Passo 5

Agrupando fator comum x^-3 para simplificar:
f'(x) =x^-3gl(xsin(2x)sin^2(x)+1-2,lnl(sin^2(x)+1r)gr)
ou seja
f'(x) = x,sin(2x)/(sin^2(x)+1);-;2,lnl(sin^2(x)+1r)x^3

Resposta

f'(x) = sin(2x)x^2,l(sin^2(x)+1r) - 2,lnl(sin^2(x)+1r)x^3
é equivalente a
f'(x) = x,sin(2x)x^3l(sin^2(x)+1r) - 2,lnl(sin^2(x)+1r)x^3 = x,sin(2x)/(sin^2(x)+1) - 2,ln(sin^2(x)+1)x^3

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