Considere o problema
ly^prime prime+lambda y=0 y(0)=0, y(pi / 2)=0
Para quais valores de lambda o problema possui soluções não triviais?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor de contorno
y'' + lambda y = 0, y(0)=0, yl(tfracpi2r)=0,
que é um caso típico de autovalores e autofunções para uma EDO linear de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de lambda para os quais existe solução não trivial (isto é, diferente de yequiv0).

Passo 2

Analisamos primeiro lambda<0. Escreva lambda=-mu^2 com mu>0. A EDO vira
y'' - mu^2 y = 0
cuja solução geral é
y(x) = A e^mu x + B e^-mu x
Impondo y(0)=0 A+B=0, logo y(x)=Al(e^mu x-e^-mu xr)=2Asinh(mu x). Então
yl(tfracpi2r)=2Asinh!l(mutfracpi2r)=0
e como sinh(mupi/2)neq0 segue A=0. Assim só há a solução trivial.

Passo 3

Agora lambda=0. A EDO é
y''=0,
com solução y(x)=Ax+B. De y(0)=0 vem B=0, e de y(pi/2)=0 vem A,pi/2=0, logo A=0. Novamente apenas a solução trivial.

Passo 4

Por fim, lambda>0. Ponha lambda=k^2 com k>0. A equação torna-se
y'' + k^2 y = 0,
e a solução geral é
y(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
Impondo y(0)=0 A=0, então
y(x)=Bsin(kx)
Para y(pi/2)=0 precisamos
Bsin!l(k,tfracpi2r)=0
Para termos Bneq0 (solução não trivial) é necessário
sin!l(k,tfracpi2r)=0 Longrightarrow k,tfracpi2 = npi, ninZ
Como k>0, escolhemos n=1,2,3,dots, daí
k = 2n,
e portanto
lambda = k^2 = (2n)^2 = 4n^2, n=1,2,3,dots

Resposta

As soluções não triviais existem exatamente para
lambda = 4n^2, n=1,2,3,dots

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