Considere o problema
Para quais valores de
o problema possui soluções não triviais?
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor de contorno
que é um caso típico de autovalores e autofunções para uma EDO linear de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de
para os quais existe solução não trivial (isto é, diferente de
).
Passo 2
Analisamos primeiro
. Escreva
com
. A EDO vira
cuja solução geral é
Impondo
dá
, logo
. Então
e como
segue
. Assim só há a solução trivial.
Passo 3
Agora
. A EDO é
com solução
. De
vem
, e de
vem
, logo
. Novamente apenas a solução trivial.
Passo 4
Por fim,
. Ponha
com
. A equação torna-se
e a solução geral é
Impondo
dá
, então
Para
precisamos
Para termos
(solução não trivial) é necessário
Como
, escolhemos
, daí
e portanto
Resposta
As soluções não triviais existem exatamente para