Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo dos limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar séries de Taylor para aproximar a função seno e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de
, a função
pode ser aproximada pela série de Taylor:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade dos logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que, para
próximo de 0,
. Aplicando isso:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, para encontrar
, basta aplicar a exponencial em ambos os lados:
Resposta
Portanto, o limite é
.