Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
lim x 0(sin (x)x)^1x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0(sin (x)x)^1x^2. Esse problema está relacionado ao estudo dos limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar séries de Taylor para aproximar a função seno e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de x, a função sin(x) pode ser aproximada pela série de Taylor:
sin(x) approx x - x^36
Dividindo ambos os lados por x:
sin(x)x approx 1 - x^26

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
(sin(x)x)^1x^2 approx (1 - x^26)^1x^2
Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade dos logaritmos. Vamos chamar o limite de L:
L = limx to 0 (1 - x^26)^1x^2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(L) = limx to 0 1x^2 ln(1 - x^26)
Sabemos que, para y próximo de 0, ln(1 + y) approx y - y^22. Aplicando isso:
ln(1 - x^26) approx -x^26
Substituindo de volta:
ln(L) = limx to 0 1x^2 (-x^26) = -16

Passo 4

Agora, para encontrar L, basta aplicar a exponencial em ambos os lados:
L = e^ln(L) = e^-16

Resposta

Portanto, o limite é e^-16.

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