Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente ao comportamento de funções polinomiais e funções trigonométricas quando
cresce sem limites. Para resolver isso, vamos analisar quais termos dominam no numerador e no denominador à medida que
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. Aqui, temos dois termos:
, que é um polinômio de terceiro grau, e
, que é uma função trigonométrica. Quando
cresce muito, o termo
se torna muito maior que
, porque funções polinomiais de grau maior crescem mais rapidamente que funções trigonométricas, que têm amplitude limitada entre -1 e 1. Portanto, para valores muito grandes de
, o termo
vai dominar o numerador.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Aqui, temos um termo constante 1 e
. Assim como no numerador, quando
cresce, o
domina o denominador, tornando o 1 praticamente irrelevante para valores grandes de
.
Passo 4
Com essa observação, podemos simplificar a expressão original, focando apenas nos termos que dominam no numerador e no denominador:
Passo 5
Agora, simplificando essa fração, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 6
Portanto, o limite dessa expressão à medida que
tende ao infinito é igual a 2.
Resposta
O limite é igual a 2.