Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
lim x +infty 2 x^3+sin (x^2)1+x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty 2 x^3+sin (x^2)1+x^3. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, mais especificamente ao comportamento de funções polinomiais e funções trigonométricas quando x cresce sem limites. Para resolver isso, vamos analisar quais termos dominam no numerador e no denominador à medida que x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: 2x^3 + sin(x^2). Aqui, temos dois termos: 2x^3, que é um polinômio de terceiro grau, e sin(x^2), que é uma função trigonométrica. Quando x cresce muito, o termo 2x^3 se torna muito maior que sin(x^2), porque funções polinomiais de grau maior crescem mais rapidamente que funções trigonométricas, que têm amplitude limitada entre -1 e 1. Portanto, para valores muito grandes de x, o termo 2x^3 vai dominar o numerador.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: 1 + x^3. Aqui, temos um termo constante 1 e x^3. Assim como no numerador, quando x cresce, o x^3 domina o denominador, tornando o 1 praticamente irrelevante para valores grandes de x.

Passo 4

Com essa observação, podemos simplificar a expressão original, focando apenas nos termos que dominam no numerador e no denominador:
lim x +infty 2x^3x^3

Passo 5

Agora, simplificando essa fração, o x^3 no numerador e no denominador se cancelam:
2x^3x^3 = 2

Passo 6

Portanto, o limite dessa expressão à medida que x tende ao infinito é igual a 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados