Calcule a derivada das funções:
f(x)=tan (raizsin (x^2+1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = tanl(raizsin(x^2+1)r)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, além das derivadas de tan(u), de raizv, de sin(w) e de x^2+1.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x) = raizsin(x^2+1),
de modo que
f(x) = tanl(u(x)r)
Pela regra da cadeia,
f'(x) = sec^2l(u(x)r),cdot u'(x)

Passo 3

Agora vamos achar u'(x). Note que
u(x) = l(sin(x^2+1)r)^1/2
Seja
v(x) = sin(x^2+1),
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u(x) = v(x)^1/2
Aplicando a regra da cadeia em u:
u'(x) = 12,v(x)^1/2;v'(x) = 12raizsin(x^2+1);v'(x)

Passo 4

Falta v'(x). Como
v(x) = sin(x^2+1),
temos
v'(x) = cos(x^2+1),cdot ddx(x^2+1) = cos(x^2+1),cdot 2x = 2x,cos(x^2+1)
Substituindo em u'(x):
u'(x) = 12raizsin(x^2+1);l(2x,cos(x^2+1)r) = x,cos(x^2+1)raizsin(x^2+1)
Finalmente, juntando em f'(x):
f'(x) = sec^2l(raizsin(x^2+1)r);x,cos(x^2+1)raizsin(x^2+1)

Resposta

f'(x) = x,cos(x^2+1)raizsin(x^2+1);sec^2!l(raizsin(x^2+1)r)

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