Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
lim x pi2 sec x

Passo 1

O enunciado pede o limite da função sec x quando x tende a pi/2, sem usar a Regra de L’Hôpital. O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções que apresentam forma de divisão por zero e análise de limites laterais.

Passo 2

Lembrando que
sec x = 1cos x,
devemos estudar o comportamento de cos x quando x se aproxima de pi/2.

Passo 3

Ao nos aproximarmos de pi/2 pela esquerda ( xtopi/2^-), sabemos que cos x tende a zero por valores positivos (pois em (0,pi/2) o cosseno é positivo). Logo,
limxtopi/2^-cos x = 0^+ Longrightarrow limxtopi/2^-sec x = limxtopi/2^-1cos x = +infty

Passo 4

Ao nos aproximarmos de pi/2 pela direita ( xtopi/2^+), cos x tende a zero por valores negativos (pois em (pi/2,pi) o cosseno é negativo). Assim,
limxtopi/2^+cos x = 0^- Longrightarrow limxtopi/2^+sec x = limxtopi/2^+1cos x = -infty

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai para +infty e o outro para -infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

limxtopi/2^-sec x = +infty limxtopi/2^+sec x = -infty
Portanto, limxtopi/2sec x não existe.

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