Sem utilizar a Regra de LHôpital, calcule os limites:
lim x 0^+ 2 x^3-x+31-e^x.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+2x^3-x+31-e^x
sem usar a Regra de L’Hôpital. Aqui vamos usar desenvolvimentos em série de Taylor em torno de x=0 para o numerador e para o denominador e então identificar o comportamento dominante.

Passo 2

Expandimos e^x até a ordem x^2:
e^x = 1 + x + x^22 + O(x^3)
Logo,
1 - e^x = 1 - l(1 + x + x^22 + O(x^3)r) = -x - x^22 + O(x^3)
O numerador pode ser escrito como
2x^3-x+3 = 3 - x + 2x^3

Passo 3

Fatoramos x no denominador:
1 - e^x = -xl(1 + tfracx2 + O(x^2)r)
Assim,
2x^3-x+31 - e^x = 3 - x + 2x^3-xl(1 + tfracx2 + O(x^2)r) = -,3 - x + 2x^3x,11 + tfracx2 + O(x^2)
Para xto0,
3 - x + 2x^3x = 3x - 1 + 2x^2 e 11 + tfracx2 + O(x^2) = 1 - x2 + O(x^2)
Multiplicando,
2x^3-x+31 - e^x = -l(3x - 1 + O(x)r)l(1 - tfracx2 + O(x^2)r) = -3x + termos que permanecem finitos

Passo 4

Como -tfrac3xto -infty quando xto0^+, concluímos que
limxto0^+2x^3-x+31-e^x = -infty

Resposta

-infty

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