Parte 1
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral de superfície integral duplaS(x^2 z+y^2 z) d S, onde S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 com z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integral duplaSl(x^2z + y^2zr),dS,
onde S é o hemisfério de equação x^2+y^2+z^2=4 com z>=0.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos parametrizar S em coordenadas esféricas, obter dS e avaliar o integral.

Passo 2

Esboço da região de integração:
No espaço (x,y,z), S é exatamente a “tampa” superior da esfera de raio 2. Em coordenadas esféricas usamos
x=2sinphicostheta, y=2sinphisintheta, z=2cosphi,
com phiin[0,tfracpi2] (do polo norte até o equador) e thetain[0,2pi] (contorno completo).

Passo 3

Para uma esfera de raio 2, o elemento de área em esféricas é
dS = l(2r)^2sinphi,dphi,dtheta =4sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Expressamos o integrando em (phi,theta). Primeiro
x^2+y^2 =4sin^2phil(cos^2theta+sin^2thetar) =4sin^2phi,
então
x^2z + y^2z =(x^2+y^2),z =4sin^2phicdot(2cosphi) =8sin^2phicosphi

Passo 5

O integral fica
integral duplaS l(x^2z+y^2zr),dS =integraltheta=0^2pi!!integralphi=0^pi/2 l[8sin^2phicosphir],[4sinphi], dphi,dtheta =integral0^2pi!!integral0^pi/232sin^3phicosphi, dphi,dtheta
Fazemos a substituição u=sinphi, du=cosphi,dphi, então
integral0^pi/232sin^3phicosphi,dphi =32integralu=0^1u^3,du =32cdot14=8
Restando
integral0^2pi8,dtheta=16pi

Resposta

integral duplaSl(x^2z+y^2zr),dS =16pi

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