Parte 1
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral de superfície
, onde
é o hemisfério
com
.
Justifique todas as suas respostas.
Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Calcule a integral de superfície
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
onde
é o hemisfério de equação
com
.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos parametrizar em coordenadas esféricas, obter
e avaliar o integral.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar. Vamos parametrizar
Passo 2
Esboço da região de integração:
No espaço ,
é exatamente a “tampa” superior da esfera de raio
. Em coordenadas esféricas usamos
No espaço
com
(do polo norte até o equador) e
(contorno completo).
Passo 3
Para uma esfera de raio
, o elemento de área em esféricas é
Passo 4
Expressamos o integrando em
. Primeiro
então
Passo 5
O integral fica
Fazemos a substituição
,
, então
Restando