Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=2^ln (1+cos ^2(x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = 2^ln(1 + cos^2(x)) . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e exponenciais. Precisamos lembrar das regras da derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é ln(1 + cos^2(x)) . Ou seja, f(x) = 2^g(x) , onde g(x) = ln(1 + cos^2(x)) .

Passo 3

Para derivar uma função da forma a^g(x) , a regra é:
ddx a^g(x) = a^g(x) cdot ln(a) cdot g'(x)
Aqui, a = 2 e g(x) = ln(1 + cos^2(x)) .

Passo 4

Vamos calcular g'(x) , a derivada de g(x) = ln(1 + cos^2(x)) . Usamos a regra da cadeia:
g'(x) = 11 + cos^2(x) cdot ddx(cos^2(x))

Passo 5

Agora, calculamos ddx(cos^2(x)) . Usando a regra da potência e a regra da cadeia:
ddx(cos^2(x)) = 2cos(x) cdot (-sin(x)) = -2cos(x)sin(x)
Lembrando que -2cos(x)sin(x) = -sin(2x) pela identidade trigonométrica.

Passo 6

Substituímos ddx(cos^2(x)) de volta em g'(x) :
g'(x) = -sin(2x)1 + cos^2(x)

Passo 7

Agora, voltamos à derivada de f(x) :
f'(x) = 2^ln(1 + cos^2(x)) cdot ln(2) cdot ( -sin(2x)1 + cos^2(x) )

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -2^ln(1 + cos^2(x)) cdot ln(2) cdot sin(2x)1 + cos^2(x)

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