Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty raizn^4+1n^3+n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty an com an = raizn^4 + 1n^3 + n^2
usando o teste da comparação. Vamos comparar com uma série-padrão cujo comportamento conhecemos, como a série harmônica.

Passo 2

Para grandes n temos
raizn^4+1sim n^2 e n^3+n^2=n^2(n+1)sim n^3
Portanto é natural comparar an com
bn = 1n,
pois an parece comportar-se como n^2/n^3=1/n.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação na forma do limite (limit comparison test). Calculamos
L = limntoinftyanbn = limntoinftyraizn^4+1,n^3+n^2,1n = limntoinftyn,raizn^4+1n^3+n^2

Passo 4

Para avaliar L, escrevemos
raizn^4+1 = n^2raiz1+1n^4,
então
L = limntoinftyncdot n^2raiz1+1/n^4n^2(n+1) = limntoinftyn^3raiz1+1/n^4n^3(1+1/n) = 1cdot11cdot1 = 1

Passo 5

Como 0 < L < infty, o teste de comparação pelo limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Mas sum bn = sum 1/n é a série harmônica, que diverge. Logo sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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