Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty n+2(n+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da comparação, se a série
sumn=1^infty n+2(n+1)^3
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e, mais especificamente, o teste de comparação com uma série-p.

Passo 2

Denotamos o termo geral por
an = n+2(n+1)^3
Para aplicar o teste de comparação, precisamos encontrar uma outra sequência bn tal que 0 <= an <= bn a partir de algum n e tal que sum bn seja uma série cuja convergência conhecemos.

Passo 3

Observamos que, para todo n>=1, vale
n+2 <= 3(n+1),
pois n+2 = (n+1)+1 <= 2(n+1) na verdade já mostra n+2 <= 2(n+1), mas podemos usar um fator seguro 3. Então
an = n+2(n+1)^3 <= 3(n+1)(n+1)^3 = 3(n+1)^2
Definimos portanto
bn = 3(n+1)^2

Passo 4

Sabemos que sumn=1^infty 1n^2 é uma série-p com p=2>1 e, portanto, converge. Como para n>=1 temos n+1>= n e daí
0 <= bn = 3(n+1)^2 <= 3n^2,
seguimos que sum bn converge por comparação com sum 3/n^2.

Passo 5

Pelo teste da comparação direta, como 0 <= an <= bn a partir de n=1 e sum bn converge, então
sumn=1^infty an = sumn=1^infty n+2(n+1)^3
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn+2(n+1)^3 converge.

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