Calcule os limites abaixo caso existam:
lim x 0^+ raizx e^sin (pix).

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+ raizx e^sin (pix). Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da expressão separadamente.
  • raizx: Conforme x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+), raizx também se aproxima de 0. Isso porque a raiz quadrada de um número muito pequeno próximo de zero é ainda mais próximo de zero.
  • sin(pix): Quando x se aproxima de 0, pix cresce sem limite, fazendo com que o seno desse valor oscile rapidamente entre -1 e 1. Ou seja, sin(pix) está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de x.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função exponencial e^sin(pix). Como sin(pix) está sempre entre -1 e 1, temos que:
e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1
Ou seja:
1e <= e^sin(pix) <= e

Passo 4

Combinando as duas partes que analisamos, a expressão completa fica:
raizx cdot 1e <= raizx e^sin(pix) <= raizx cdot e

Passo 5

Sabemos que raizx 0 quando x 0^+. Portanto:
raizx cdot 1e 0 e raizx cdot e 0

Passo 6

Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Squeeze), se uma função está sempre entre duas funções que ambas tendem para o mesmo limite, então a função também tende para esse limite. Assim:
lim x 0^+ raizx e^sin (pix) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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