Calcule os limites abaixo caso existam:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da expressão separadamente.
-
: Conforme se aproxima de 0 pela direita ( ), também se aproxima de 0. Isso porque a raiz quadrada de um número muito pequeno próximo de zero é ainda mais próximo de zero. -
: Quando se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que o seno desse valor oscile rapidamente entre -1 e 1. Ou seja, está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função exponencial
. Como
está sempre entre -1 e 1, temos que:
Ou seja:
Passo 4
Combinando as duas partes que analisamos, a expressão completa fica:
Passo 5
Sabemos que
quando
. Portanto:
Passo 6
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Squeeze), se uma função está sempre entre duas funções que ambas tendem para o mesmo limite, então a função também tende para esse limite. Assim:
Resposta
O limite é igual a
.