Calcule a derivada das funções abaixo:
g(x)=integraltg x^x^2 1raiz2+t^2 d t;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=integraltan x^,x^21raiz2+t^2,dt
O conteúdo aqui é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra de Leibniz para limites de integração que dependem de x.

Passo 2

Recordando a fórmula geral: se
G(x)=integrala(x)^,b(x)f(t),dt,
então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Identificamos no nosso caso:
f(t)=1raiz2+t^2, b(x)=x^2, a(x)=tan x
Portanto
,b'(x)=2x e ,a'(x)=sec^2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz:
g'(x) =1raiz2+(x^2)^2cdot2x ;-; 1raiz2+(tan x)^2cdotsec^2x
Como (x^2)^2=x^4, fica
g'(x)=2xraiz2+x^4 ;-; sec^2xraiz2+tan^2x

Resposta

g'(x)=2xraiz2+x^4 ;-; sec^2xraiz2+tan^2x

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