Calcule a derivada das funções abaixo:
g(x)=integral2^1x arctg t d t;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=integral2^1/xarctan t,dt
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (para integral com limite variável) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Seja F(u)=integral2^uarctan t,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
F'(u)=arctan(u)
Como g(x)=Fl(u(x)r) com u(x)=1/x, usaremos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x)=1/x:
u'(x)=ddxl(1xr)=-1x^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em g(x)=F(u(x)), obtemos
g'(x)=F'l(u(x)r),u'(x) =arctanl(1/xr),l(-tfrac1x^2r) =-1x^2,arctan!l(tfrac1xr)

Resposta

g'(x)=-1x^2,arctan!l(1xr)

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