Calcule a derivada das funções abaixo:
g(x)=integralx^2^0 sen^3 t d t;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=integralx^2^0sin^3t,dt. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite variável e a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar o teorema de forma direta, é mais fácil inverter os limites da integral. Como trocar os limites inverte o sinal, escrevemos:
g(x)= -integral0^x^2sin^3t,dt

Passo 3

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia. Se H(x)=integral0^h(x)f(t),dt, então H'(x)=f(h(x))cdot h'(x). Aqui h(x)=x^2 e f(t)=sin^3t, logo:
ddxintegral0^x^2sin^3t,dt=sin^3(x^2)cdot2x
Como g(x)=-integral0^x^2sin^3t,dt, temos
g'(x)=-2xsin^3(x^2)

Resposta

-2x,sin^3(x^2)

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