Calcule a derivada das funções abaixo:
g(x)=integral2 x^3 x t^2-1t^2+1 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=integral2x^3xt^2-1t^2+1,dt
O conteúdo principal é a aplicação da regra de Leibniz para derivada de integral com limites dependentes de x.

Passo 2

Seja
f(t)=t^2-1t^2+1, a(x)=2x, b(x)=3x
A regra de Leibniz diz que
ddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt =fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Calculando as derivadas dos limites temos b'(x)=3 e a'(x)=2. Logo,
g'(x) =3;(3x)^2-1(3x)^2+1 -2;(2x)^2-1(2x)^2+1 =3,9x^2-19x^2+1 -2,4x^2-14x^2+1

Passo 4

Se desejar um único quociente, faça o mesmo denominador:
g'(x) =3(9x^2-1)(4x^2+1)-2(4x^2-1)(9x^2+1)(9x^2+1)(4x^2+1)
Expandindo e simplificando o numerador chega-se a
g'(x) =36x^4+25x^2-1(9x^2+1)(4x^2+1)

Resposta

g'(x) =3,9x^2-19x^2+1 -2,4x^2-14x^2+1 (forma imediata)
ou
g'(x) =36x^4+25x^2-1(9x^2+1)(4x^2+1) (forma simplificada)

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