Calcule a derivada f^prime(x) das funções abaixo:
(91) f(x)=x^2+3 x-5
(92) f(x)=raizx
(93) f(x)=1x^2
(94) f(x)=x^3+1x
(95) f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) de cinco funções usando regras básicas: regra do poder (power rule), soma de derivadas e, no caso do logaritmo, a regra da cadeia (chain rule).

Passo 2

Para f(x)=x^2+3x-5 aplicamos a regra do poder em cada termo:
ddxx^2=2x
ddx(3x)=3
ddx(-5)=0
Logo,
f'(x)=2x+3

Passo 3

Para f(x)=raizx escrevemos raizx=x^tfrac12 e usamos a regra do poder:
ddxx^tfrac12=tfrac12,x^-tfrac12
Podemos reescrever como
f'(x)=12raizx

Passo 4

Para f(x)=1x^2 escrevemos x^-2 e aplicamos a regra do poder:
ddxx^-2=-2,x^-3
Isso equivale a
f'(x)=-2x^3

Passo 5

Para f(x)=x^3+1x escrevemos 1x=x^-1 e derivamos termo a termo:
ddxx^3=3x^2
ddxx^-1=-1,x^-2
Logo,
f'(x)=3x^2-x^-2=;3x^2-1x^2

Passo 6

Para f(x)=lnl(x^2+1r) usamos a regra da cadeia: se u=x^2+1, então
ddxln(u)=u'u e u'=2x
Logo,
f'(x)=2xx^2+1

Resposta

(91) f'(x)=2x+3
(92) f'(x)=tfrac12,x^-tfrac12=12raizx
(93) f'(x)=-2x^-3=-2x^3
(94) f'(x)=3x^2-x^-2=3x^2-1x^2
(95) f'(x)=2xx^2+1

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