Responda as perguntas sobre o PVI:
Para que valores de
e
o problema:
a) Terá solução ?
b) Terá solução única ?
c) Não terá solução ?
d) Terá infinitas soluções ?
a) Terá solução ?
b) Terá solução única ?
c) Não terá solução ?
d) Terá infinitas soluções ?
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente singular em
. Vamos colocar em forma padrão e achar a solução geral para depois analisar os valores de
e
.
Passo 2
Dividindo por
(para
) obtemos a forma normal
Passo 3
É uma EDO separável ou linear exata. Separamos variáveis:
e integramos:
onde
é constante real.
Passo 4
Caso
: o coeficiente
é contínuo num intervalo que contém
, então pelo Teorema de Existência e Unicidade existe exatamente uma solução que satisfaz
. Impõe-se
logo a solução é
única em torno de
.
Passo 5
Caso
: o ponto é singular e a equação original em
lê-se
- Se
não existe função que satisfaça simultaneamente e a equação em . - Se
, a única condição em é , mas para qualquer satisfaz o ODE. Logo há infinitas escolhas de , todas com .
Resposta
a) Há solução para
e também no caso
e também no caso
b) Há solução única para
c) Não há solução para
d) Há infinitas soluções para