Responda as perguntas sobre o PVI:
l x y^prime+y=0 y(x0)=y0
Para que valores de x0 e y0 o problema:
a) Terá solução ?
b) Terá solução única ?
c) Não terá solução ?
d) Terá infinitas soluções ?

Passo 1

O enunciado dá o PVI
x,y'+y=0, y(x0)=y0,
que é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente singular em x=0. Vamos colocar em forma padrão e achar a solução geral para depois analisar os valores de x0 e y0.

Passo 2

Dividindo por x (para xneq0) obtemos a forma normal
y' + 1x,y = 0

Passo 3

É uma EDO separável ou linear exata. Separamos variáveis:
y'y = -1x
e integramos:
ln|y| = -ln|x| + C1
|y| = e^C11|x|,isto é y = Cx, é
onde C é constante real.

Passo 4

Caso x0neq0: o coeficiente tfrac1x é contínuo num intervalo que contém x0, então pelo Teorema de Existência e Unicidade existe exatamente uma solução que satisfaz y(x0)=y0. Impõe-se
C = x0,y0,
logo a solução é
y(x) = x0,y0x,
única em torno de x0.

Passo 5

Caso x0=0: o ponto é singular e a equação original em x=0 lê-se
0cdot y'(0)+y(0)=0Longrightarrow y(0)=0
  • Se y0neq0 não existe função que satisfaça simultaneamente y(0)=y0neq0 e a equação em x=0.
  • Se y0=0, a única condição em x=0 é y(0)=0, mas para xneq0 qualquer y(x)=C/x satisfaz o ODE. Logo há infinitas escolhas de C, todas com y(0)=0.

Resposta

a) Há solução para
boxedx0neq0, qualquer y0
e também no caso boxedx0=0, y0=0
b) Há solução única para
boxedx0neq0, qualquer y0
c) Não há solução para
boxedx0=0, y0neq0
d) Há infinitas soluções para
boxedx0=0, y0=0

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