Encontre d y / d x das funções abaixo por diferenciação implícita.
x^{3}+y^{3}=3 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} da relação implícita
x^{3}+y^{3}=3 x y^{2}.
Informações dadas:
  • Temos uma equação que relaciona x e y mas não dá y explicitamente como função de x.
  • A tarefa é calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} (a taxa de variação de y em relação a x) usando diferenciação implícita.
  • Não foram fornecidos pontos específicos; queremos a expressão geral de \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Conceito: diferenciação implícita significa derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)). Quando diferenciamos uma expressão que contém y, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de y^{n} em relação a x é n y^{n-1}\cdot \dfrac{d y}{d x}. Também vamos usar a regra do produto quando for necessário: a derivada de u(x)\,v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2} (regra da potência).
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\dfrac{dy}{dx} (regra da potência + regra da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(x\cdot y^{2}\bigr)=1\cdot y^{2}+x\cdot 2y\dfrac{dy}{dx}=y^{2}+2xy\dfrac{dy}{dx} (regra do produto).

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação
x^{3}+y^{3}=3 x y^{2}
com respeito a x.
Derivando o lado esquerdo termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Portanto o lado esquerdo dá
3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora o lado direito: \dfrac{d}{dx}\bigl(3x y^{2}\bigr).
Retiro o fator constante 3 e aplico a regra do produto a x\cdot y^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr)=\underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\cdot y^{2}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=y^{2}+x\cdot 2y\frac{dy}{dx}=y^{2}+2xy\frac{dy}{dx}.
Multiplicando por 3 temos
\frac{d}{dx}\bigl(3x y^{2}\bigr)=3y^{2}+6xy\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Juntando as derivadas obtidas dos dois lados, temos a igualdade
3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=3y^{2}+6xy\frac{dy}{dx}.
Agora vamos isolar os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} em um lado e os outros no outro lado.
Subtraindo 6xy\frac{dy}{dx} e subtraindo 3x^{2} de ambos os lados obtemos
3y^{2}\frac{dy}{dx}-6xy\frac{dy}{dx}=3y^{2}-3x^{2}.

Passo 6

Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo e fatorando 3 do lado direito:
\frac{dy}{dx}\bigl(3y^{2}-6xy\bigr)=3\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr).
Podemos dividir ambos os lados por 3 para simplificar:
\frac{dy}{dx}\bigl(y^{2}-2xy\bigr)=y^{2}-x^{2}.

Passo 7

Finalmente isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo pelo fator \bigl(y^{2}-2xy\bigr) (desde que este fator seja diferente de zero):
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}-2xy}.
Observação didática: podemos factorizar numerador e denominador se quisermos ver formas alternativas:
y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x),\qquad y^{2}-2xy=y(y-2x).
Quando y^{2}-2xy=0 (ou seja y=0 ou y=2x), a expressão para \dfrac{dy}{dx} fica indefinida — isso indica pontos onde a tangente pode ser vertical ou onde é preciso analisar com mais cuidado (por exemplo, verificar se o numerador também se anula).

Resposta

\displaystyle \frac{y^{2}-x^{2}}{y^{2}-2xy}

Exercícios relacionados