Encontre d y / d x das funções abaixo por diferenciação implícita.
y+\operatorname{sen} y=x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) a partir da igualdade implícita
y + \operatorname{sen} y = x.
Informações dadas: a relação entre x e y é essa equação; o que se quer é \dfrac{dy}{dx}. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Antes de aplicar, lembro duas regras que usaremos:
  • Derivada de x em relação a x é 1, ou seja \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Derivada de y em relação a x é \dfrac{dy}{dx} (porque y depende de x).
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta f(y(x)), então \dfrac{d}{dx}f(y(x))=f'(y)\cdot\dfrac{dy}{dx}. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3.
Aplique a derivação termo a termo em
y + \operatorname{sen} y = x.

Passo 3

Derivando cada termo conforme explicado:
  • \dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{dy}{dx}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} y\big)=\cos y\cdot\dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia (a derivada de \operatorname{sen} é \cos, multiplicamos por \dfrac{dy}{dx} porque o argumento é y(x)).
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Portanto obtemos a equação
\dfrac{dy}{dx} + \cos y\cdot\dfrac{dy}{dx} = 1.

Passo 4

Agora fatoramos \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left(1+\cos y\right)\dfrac{dy}{dx} = 1.
Isolando \dfrac{dy}{dx} dividindo por 1+\cos y, vem
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+\cos y}.

Passo 5

Observação importante sobre existência: a expressão \dfrac{1}{1+\cos y} só faz sentido quando 1+\cos y\neq 0. Isso ocorre quando \cos y\neq -1, ou seja quando
y \neq (2k+1)\pi\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.
Nesses valores de y a derivada não está definida (denominador zero).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+\cos y}

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