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das funções abaixo por diferenciação implícita.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
(a derivada de
em relação a
) a partir da igualdade implícita
Informações dadas: a relação entre
e
é essa equação; o que se quer é
. Não há mais dados numéricos.
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Antes de aplicar, lembro duas regras que usaremos:
- Derivada de
em relação a é , ou seja . - Derivada de
em relação a é (porque depende de ). - Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então . Exemplo rápido: .
Aplique a derivação termo a termo em
Passo 3
Derivando cada termo conforme explicado:
-
. -
pela regra da cadeia (a derivada de é , multiplicamos por porque o argumento é ). -
.
Portanto obtemos a equação
Passo 4
Agora fatoramos
no lado esquerdo:
Isolando
dividindo por
, vem
Passo 5
Observação importante sobre existência: a expressão
só faz sentido quando
. Isso ocorre quando
, ou seja quando
Nesses valores de
a derivada não está definida (denominador zero).