Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações e restrições dadas:
- A função numeradora é
. - A função denominadora é
. - Pelo domínio implícito da
, temos . Além disso, em a expressão original não está definida porque .
O que se pede: calcular, a derivada de em pontos onde a função está definida.
Passo 2
Escolha do método e regras que usaremos (explicadas de forma didática).
- Como
é quociente de duas funções e , é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para ,
Aqui
e
. Vou calcular
e
separadamente e depois aplicar a fórmula acima.
- Preciso também da regra da cadeia: se
, então . Isso é usado para derivar . - Lembretes de derivadas básicas que vou usar:
- A derivada de
é . - A derivada de
em relação a é . (Lembrete: , e , se preferir essa forma.)
- A derivada de
Passo 3
Derivar o numerador
usando regra da cadeia.
- Primeiro a derivada da função externa
é . - A derivada do interior
é .
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Derivar o denominador
:
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com
,
,
e
:
Isso já é a derivada correta; porém dá para escrever numa forma um pouco mais limpa colocando tudo sobre um único denominador
. Multiplicando a primeira parcela do numerador por
para juntar termos:
Passo 6
Observações finais e formas alternativas:
- A forma final pode ser escrita também substituindo
por , se preferir trabalhar só com . - Lembre-se do domínio: a fórmula acima vale para
com (pontos onde a expressão original e as derivadas origem estão definidas). - Força aí — essa é a técnica padrão para derivar quocientes de funções trigonométricas compostas por logaritmos: diferenciar numerador com cadeia, diferenciar denominador (aqui simples), aplicar quociente e simplificar.