Calcule a derivada das funções abaixo:
y=\frac{\operatorname{tg}\left(x^{5}-2 x\right)}{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\frac{\operatorname{tg}\left(x^{5}-2 x\right)}{\ln (x)}.
Informações e restrições dadas:
  • A função numeradora é \operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big).
  • A função denominadora é \ln(x).
  • Pelo domínio implícito da \ln(x), temos x>0. Além disso, em x=1 a expressão original não está definida porque \ln(1)=0.
    O que se pede: calcular y', a derivada de y em pontos onde a função está definida.

Passo 2

Escolha do método e regras que usaremos (explicadas de forma didática).
  • Como y é quociente de duas funções u(x) e v(x), é natural usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para y=\dfrac{u}{v},
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big) e v(x)=\ln(x). Vou calcular u' e v' separadamente e depois aplicar a fórmula acima.
  • Preciso também da regra da cadeia: se f(x)=F(g(x)), então f'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x). Isso é usado para derivar \operatorname{tg}\big(x^{5}-2x\big).
  • Lembretes de derivadas básicas que vou usar:
    • A derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}.
    • A derivada de \operatorname{tg}(t) em relação a t é \operatorname{sec}^{2}(t). (Lembrete: \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}, e \operatorname{sec}^{2}(t)=1+\tan^{2}(t), se preferir essa forma.)

Passo 3

Derivar o numerador u(x)=\operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big) usando regra da cadeia.
  • Primeiro a derivada da função externa \operatorname{tg}(t) é \operatorname{sec}^{2}(t).
  • A derivada do interior t(x)=x^{5}-2x é t'(x)=5x^{4}-2.
    Aplicando a regra da cadeia:
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{5}-2x\big)\cdot\big(5x^{4}-2\big).

Passo 4

Derivar o denominador v(x)=\ln(x):
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com u, u', v e v':
y'=\frac{u'v-u v'}{v^{2}} =\frac{\operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{5}-2x\big)\big(5x^{4}-2\big)\,\ln(x)-\operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big)\cdot\frac{1}{x}}{\big(\ln(x)\big)^{2}}.
Isso já é a derivada correta; porém dá para escrever numa forma um pouco mais limpa colocando tudo sobre um único denominador x\big(\ln(x)\big)^{2}. Multiplicando a primeira parcela do numerador por \dfrac{x}{x} para juntar termos:
y'=\frac{x\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{5}-2x\big)\big(5x^{4}-2\big)\,\ln(x)-\operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big)}{x\big(\ln(x)\big)^{2}}.

Passo 6

Observações finais e formas alternativas:
  • A forma final pode ser escrita também substituindo \operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{5}-2x\big) por 1+\tan^{2}\!\big(x^{5}-2x\big), se preferir trabalhar só com \tan.
  • Lembre-se do domínio: a fórmula acima vale para x>0 com x\neq1 (pontos onde a expressão original e as derivadas origem estão definidas).
  • Força aí — essa é a técnica padrão para derivar quocientes de funções trigonométricas compostas por logaritmos: diferenciar numerador com cadeia, diferenciar denominador (aqui simples), aplicar quociente e simplificar.

Resposta

y'=\frac{x\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{5}-2x\big)\big(5x^{4}-2\big)\,\ln(x)-\operatorname{tg}\!\big(x^{5}-2x\big)}{x\big(\ln(x)\big)^{2}}

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