Calcule a derivada das funções abaixo:
f(x)=e^-x^2 cos 2 x+ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^-x^2cos(2x)+ln(2x+1)
O conteúdo principal envolve:
– Regra do produto e regra da cadeia para derivar e^-x^2cos(2x).
– Regra da cadeia para derivar ln(2x+1).

Passo 2

Definimos u(x)=e^-x^2 e v(x)=cos(2x). Pela regra do produto,
ddx[u(x)v(x)] =u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Calculamos
u'(x)=ddxe^-x^2 =e^-x^2cdot(-2x)=-2x,e^-x^2,
v'(x)=ddxcos(2x)=-sin(2x)cdot2=-2sin(2x)
Logo, a derivada da primeira parcela é
ddxl(e^-x^2cos(2x)r) =-2x,e^-x^2cos(2x) +e^-x^2l(-2sin(2x)r)

Passo 3

Agora derivamos a segunda parcela por regra da cadeia:
ddxln(2x+1) =12x+1cdot2 =22x+1

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =-2x,e^-x^2cos(2x) -2,e^-x^2sin(2x) +22x+1

Resposta

f'(x) =-2x,e^-x^2cos(2x) -2,e^-x^2sin(2x) +22x+1

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