Calcule a derivada das funções abaixo.
(1,0) f(x)=\frac{x^{2}}{1+2 x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{1+2x}.
Vamos usar a regra do quociente, que diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{2},\quad v(x)=1+2x.
As derivadas são
u'(x)=2x,\quad v'(x)=2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\,(1+2x)-x^{2}\cdot2}{(1+2x)^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
2x\,(1+2x)-2x^{2} =2x+4x^{2}-2x^{2} =2x+2x^{2} =2x(x+1).
Logo
f'(x)=\frac{2x(x+1)}{(1+2x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x(x+1)}{(1+2x)^{2}}.

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