(a) (1,0) Para quais valores de \lambda o problema abaixo possui solução X(x) supondo \lambda>0, escreva a solução X(x) :
\qquad
\left\{\begin{array}{l} X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0, \\\ X(0)=0=X(10), \end{array}\right.
para 0 \leq x \leq 10.
(b) (1,0) Para cada n \geq 1 natural, encontre a solução T_{n}(t) da EDO
T^{\prime}(t)+\frac{n^{2} \pi^{2} k}{100} T(t)=0
(1,0) Usando as soluçōs X_{n}(x) e T_{n}(t) obtidas respectivamentes nos itens (a) e (b) encontre os coeficientes A_{n} tais que a função
u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \mathrm{X}_{n}(x) \mathrm{T}_{n}(t)
satisfaça a condição u(x, 0)=100, para $0 \leq x \leq 10.

Passo 1

O enunciado pede resolver, por separação de variáveis, o problema de calor em uma barra de comprimento 10 com condições de contorno u(0,t)=u(10,t)\(=0\)\) e condição inicial \(u(x,0)\(=100\)\). Para isso precisamos (i) achar os autovalores \(\lambda>0\) e autofunções \(X(x)\) do problema \[\begin{cases} X''(x)+\lambda\,X(x)=0,\\\ X(0)=0=X(10), \end{cases}
(ii) resolver a EDO temporal
T'(t)+\frac{n^{2}\pi^{2}k}{100}\,T(t)=0,
e (iii) expandir u(x,0)\(=100\] em série de senos para determinar os coeficientes \(A_{n}).

Passo 2

Para o problema espacial suponha \lambda>0 e defina \mu=\sqrt{\lambda}. A equação
X''+\mu^{2}X=0
tem solução geral
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Da condição X(0)\(=0) segue A\(=0). Da condição X(10)\(=0) resulta
B\sin(10\mu)=0.
Para solução não trivial ( B\neq0) é preciso \sin(10\mu)\(=0), ou seja
10\mu=n\pi,\quad n=1,2,\dots
Logo
\mu_{n}=\frac{n\pi}{10}, \qquad \lambda_{n}=\mu_{n}^{2}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{100},
e os autofunções são
X_{n}(x)=\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{10}\Bigr).

Passo 3

A equação temporal para cada modo n é
T'(t)+\frac{n^{2}\pi^{2}k}{100}\,T(t)=0.
Sendo uma EDO linear de coeficiente constante, a solução geral é
T_{n}(t)=C\,\exp\!\Bigl(-\frac{n^{2}\pi^{2}k}{100}\,t\Bigr).
O fator C será absorvido no coeficiente \(A_{n}) da série.

Passo 4

Impondo u(x,0)\(=100=\(sum_{n=1}^{\infty} A_{n}),\sin!\bigl(\tfrac{n\pi x}{10}\bigr)), os coeficientes de Fourier-seno em [0,10] são
A_{n} =\frac{2}{10}\int_{0}^{10}100\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{10}\Bigr)\,dx =\frac{200}{n\pi}\bigl[1-(-1)^{n}\bigr].
Portanto, para n par tem \(A_{n} =0), e para n ímpar
A_{n}=\frac{400}{n\pi}.

Resposta

(a) \lambda_{n}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{100},\quad X_{n}(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{10}\bigr).
(b) T_{n}(t)=\exp\!\bigl(-\tfrac{n^{2}\pi^{2}k}{100}\,t\bigr).
(c) A_{n}=\dfrac{200}{n\pi}[1-(-1)^{n}], isto é, A_{n}=0 se n é par e A_{n}=\dfrac{400}{n\pi} se n é ímpar.

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