(a)
Para quais valores de
o problema abaixo possui solução
supondo
, escreva a solução
:
para
.
(b)
Para cada
natural, encontre a solução
da EDO
(1,0) Usando as soluçōs
e
obtidas respectivamentes nos itens (a) e (b) encontre os coeficientes
tais que a função
satisfaça a condição
, para $0 \leq x \leq 10.
(b)
Passo 1
O enunciado pede resolver, por separação de variáveis, o problema de calor em uma barra de comprimento 10 com condições de contorno
(ii) resolver a EDO temporal
e (iii) expandir
em série de senos para determinar os coeficientes
).
Passo 2
Para o problema espacial suponha
e defina
. A equação
tem solução geral
Da condição
) segue
). Da condição
) resulta
Para solução não trivial (
) é preciso
), ou seja
Logo
e os autofunções são
Passo 3
A equação temporal para cada modo
é
Sendo uma EDO linear de coeficiente constante, a solução geral é
O fator
será absorvido no coeficiente
) da série.
Passo 4
Impondo
\(sum_{n=1}^{\infty} A_{n}),\sin!\bigl(\tfrac{n\pi x}{10}\bigr)), os coeficientes de Fourier-seno em
são
Portanto, para
par tem
), e para
ímpar
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) , isto é,
se
é par e
se
é ímpar.
(b)
(c)