Calcule a derivada das funções abaixo.
(1,5) g(x)=\frac{e^{x} \cdot x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\frac{e^{x}\cdot x^{2}}{\sin(x)}
e pede g'(x). O conteúdo aqui é derivação de produto e derivada da função recíproca \csc(x). Vamos reescrever g(x) como produto de duas funções e aplicar regra do produto.

Passo 2

Reescrevemos
g(x)=e^{x}x^{2}\cdot \csc(x).
Dessa forma temos duas funções a multiplicar:
f(x)=e^{x}x^{2} \quad\text{e}\quad h(x)=\csc(x).

Passo 3

Calculamos f'(x) usando regra do produto em f(x)=e^{x}\cdot x^{2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot x^{2}+e^{x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =e^{x}\,x^{2}+e^{x}\,2x =e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr).

Passo 4

Calculamos h'(x) sabendo que h(x)=\csc(x)=1/\sin(x). A derivada de \csc(x) é
h'(x)=-\csc(x)\cot(x).

Passo 5

Aplicando regra do produto em g(x)=f(x)\,h(x), obtemos
g'(x)=f'(x)\,h(x)+f(x)\,h'(x) =e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr)\csc(x) +e^{x}x^{2}\bigl(-\csc(x)\cot(x)\bigr).
Fatorando e^{x}\csc(x), resulta
g'(x)=e^{x}\csc(x)\Bigl(x^{2}+2x - x^{2}\cot(x)\Bigr).

Resposta

g'(x)=e^{x}\csc(x)\bigl(x^{2}+2x - x^{2}\cot(x)\bigr).

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