Seja f(x)=\operatorname{tg}(x)
(a) (1,0) Encontre a reta tangente ao gráfico de f no ponto P=\left(\frac{\pi}{4}, 1\right).
(b) (1,0) A reta do item a) passa pelo ponto Q=(2,5) ?. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\tan(x) e pede a reta tangente no ponto P\bigl(\tfrac\pi4,1\bigr) e, em seguida, verificar se essa reta passa por Q=(2,5). Para resolver vamos usar a definição de derivada como coeficiente angular da reta tangente e a fórmula de derivada
\frac{d}{dx}\bigl[\tan(x)\bigr]=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular m da reta tangente como f'(x) avaliada em x=\tfrac\pi4:
m = f'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \bigl[\tfrac{1}{\cos(\pi/4)}\bigr]^2 = (\sqrt2)^2 = 2.

Passo 3

A equação da reta tangente em P(x_0,y_0) com coeficiente m é
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Substituindo x_0=\tfrac\pi4, y_0=1 e m=2, obtemos
y - 1 = 2\Bigl(x - \tfrac\pi4\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1.

Passo 4

Para saber se Q=(2,5) está nessa reta, substituímos x=2 e verificamos o valor de y:
y = 2\cdot2 - \frac{\pi}{2} + 1 = 5 - \frac{\pi}{2} \;\approx\;5 - 1{,}5708 = 3{,}4292\neq 5.
Logo, o ponto Q não satisfaz a equação da reta.

Resposta

(a) A reta tangente é
y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1.
(b) Não. Substituindo x=2 nessa reta obtém-se y\approx3{,}43, que é diferente de 5, então Q não pertence à reta.

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