(2,0) Use o princípio da superposição para determinar a solução do problema de condução do calor.
\begin{cases}u_{t}=100 u_{x x}, & 0<x<1, \quad t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen}(2 \pi x)-\operatorname{sen}(5 \pi x), & 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O problema é um PDE de condução de calor em uma barra de comprimento 1, com equação
u_{t}=100\,u_{xx},\quad 0<x<1,\;t>0,
condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0,
e condição inicial
u(x,0)=\sin(2\pi x)-\sin(5\pi x),\quad 0\le x\le1.
O conteúdo é método de separação de variáveis e superposição linear de modos próprios.

Passo 2

Pela separação de variáveis, cada modo próprio é
X_n(x)=\sin(n\pi x),\quad n=1,2,3,\dots
com fator temporal
T_n(t)=e^{-100\,n^2\pi^2\,t}.
Logo, o modo correspondente a \sin(n\pi x) decai como
\sin(n\pi x)\,e^{-100\,n^2\pi^2\,t}.

Passo 3

A condição inicial é combinação de dois modos:
\sin(2\pi x)\quad(n=2) \quad\text{e}\quad -\sin(5\pi x)\quad(n=5).
Para n=2, o decaimento é governado por
e^{-100\,(2\pi)^2\,t}=e^{-400\,\pi^2\,t}.
Para n=5, o decaimento é
e^{-100\,(5\pi)^2\,t}=e^{-2500\,\pi^2\,t}.

Passo 4

Pelo princípio da superposição, somamos os dois modos com seus coeficientes da condição inicial:
u(x,t) =\sin(2\pi x)\,e^{-400\,\pi^2\,t} -\sin(5\pi x)\,e^{-2500\,\pi^2\,t}.

Resposta

u(x,t) =\sin(2\pi x)\,e^{-400\,\pi^2\,t} -\sin(5\pi x)\,e^{-2500\,\pi^2\,t}.

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