Calcule a derivada das funções abaixo.
f(x)=5 x^{4}-3 x^{2}+\ln (7)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=5x^{4}-3x^{2}+\ln(7).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é a soma de três termos: \;5x^{4}, -3x^{2} e \ln(7).
  • \ln(7) é um número (constante), pois 7 é um número fixo.
  • Pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Formalmente,
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Aqui g(x) e h(x) são quaisquer funções de x.
  • Regra do fator constante: um coeficiente numérico sai da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}u(x),
onde c é uma constante (número) e u(x) é função de x.
  • Regra da potência (power rule): para n número real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável.
  • Derivada de constante: se C é um número (constante), então
\frac{d}{dx}C=0.
  • Observação sobre logaritmo: \frac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}, mas isso só vale quando o argumento depende de x. Como \ln(7) tem argumento constante, sua derivada é 0.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo — termo \;5x^{4}:
  • Usamos a regra do fator constante e a regra da potência.
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},
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\frac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr)=5\cdot 4x^{3}=20x^{3}.

Passo 4

Termo -3x^{2}:
  • Mesma ideia: coeficiente -3 sai da derivada e aplicamos potência com n=2.
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)=-3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=-3\cdot 2x=-6x.

Passo 5

Termo \ln(7):
  • Como 7 é um número fixo, \ln(7) é uma constante.
\frac{d}{dx}\ln(7)=0.
(Se fosse \ln(x), aí sim a derivada seria \dfrac{1}{x}, mas não é o caso.)

Passo 6

Somando as derivadas (regra da soma) e simplificando:
f'(x)=20x^{3}-6x+0=20x^{3}-6x.
Podemos também fatorar um fator comum 2x:
f'(x)=2x\bigl(10x^{2}-3\bigr),
se quiser ver a forma fatorada.

Resposta

20x^{3}-6x

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