Se y=\sqrt[3]{f^{5}}, onde f=3 g^{3}+2 g e g=5 x+1, ache a derivada de y em relação a x pela regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado diz que
y = \sqrt[3]{f^{5}},\quad f = 3g^{3}+2g,\quad g = 5x+1
e pede \dfrac{dy}{dx}. Aqui vamos aplicar a regra da cadeia em três níveis: x\mapsto g\mapsto f\mapsto y. Em outras palavras,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df}\cdot\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}.

Passo 2

Calcular \dfrac{dg}{dx}. Como g=5x+1,
\frac{dg}{dx} = 5.

Passo 3

Calcular \dfrac{df}{dg}. Como f = 3g^{3}+2g, derivando em relação a g temos
\frac{df}{dg} = 9g^{2} + 2.

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{df}. Reescrevendo y como
y = \bigl(f^{5}\bigr)^{\tfrac13} = f^{5/3},
a derivada em relação a f é
\frac{dy}{df} = \frac{5}{3}\,f^{\tfrac{5}{3}-1} = \frac{5}{3}\,f^{2/3}.

Passo 5

Reunir tudo pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df}\,\frac{df}{dg}\,\frac{dg}{dx} = \Bigl(\frac{5}{3}f^{2/3}\Bigr)\,(9g^{2}+2)\,(5).
Podemos simplificar o fator numérico \tfrac{5}{3}\times5 = \tfrac{25}{3}, então
\frac{dy}{dx} = \frac{25}{3}\;f^{2/3}\;(9g^{2}+2).

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{25}{3}\,\bigl(3(5x+1)^{3}+2(5x+1)\bigr)^{2/3}\,\bigl(9(5x+1)^{2}+2\bigr).

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